Pizza theorem.

Da tempo non posto problemi pseudomatematici ristorantosi e oggi vi fracasso i marroni su come condividere una pizzata.

Carlo ed Lella hanno preso una pizza e se la devono dividere.

Carlo fa due tagli perpendicolari che pero' non passano per il centro della pizza, e poi fa per prendere la fetta maggiore (come nell’immagine a sinistra qui sotto).

Lella lo guarda male, e allora Carlo dice “Hai ragione, pensavo tu preferissi il contorno come al solito e quindi facciamo cosi'.. prendo quella insieme alla la fetta piu' piccola e tu quelle di mezzo, cosi' siamo pari”.

Lella lo ferma, gli prende il coltello e fa altri due tagli, che passano sempre per lo stesso punto e bisecano le fette.. ora ci sono otto fette, tutte con un angolo di 45 gradi.

Sorride poi a Carlo, e gli dice soavemente: “Ora va molto meglio.

Io prendo la fetta piu' grande, e poi andiamo avanti in senso orario, prendendo ciascuno la fetta successiva”.

Allo sguardo perplesso di Carlo, continua: “O se preferisci la fetta grande la prendi tu, e poi proseguiamo come ho detto.

Scegli pure, ma fa’ in fretta che la pizza si raffredda.”

Che cosa consigliate di fare a Carlo, a parte imparare a tagliare la pizza passando dal centro?

Un taglio in quattro parti e un altro taglio in otto parti

Per quanto riguarda il primo taglio, quello in quattro parti, direi che non c’e' storia.

Dovrebbe essere chiaro a prima vista che spostando opportunamente il punto di incontro delle due perpendicolari si ottiene piu' di mezza pizza anche solo con il pezzo piu' grande.

(Lo so, e' una dimostrazione di tipo “handwaving”.. ma non preoccupatevi, prima della fine del post ce ne sara' una piu' valida). Per il secondo taglio, pero', le cose non sono cosi' semplici, e almeno ad occhio non e' possibile avere un’idea di quale sia la parte maggiore.

Il problema ha una data di nascita ben precisa, tra l’altro.. venne proposto per la prima volta nel 1968 all’interno di Mathematics Magazine, ci racconta Wikipedia nella voce opportunamente denominata “Pizza theorem”.

A tempo debito la soluzione venne poi pubblicata.. venivano calcolate analiticamente le varie aree, e si ricavava che la somma dei settori rosa era identica a quella dei settori verdi.

Insomma, Lella aveva fatto uno scherzo ad Carlo, lasciandolo nel dubbio di aver fatto la scelta sbagliata quando invece la scelta era indifferente.

Per la maggior parte della gente, la storia sarebbe finita qui.

C’era un problema, era stata trovata la soluzione al problema, e non c’era piu' nulla da fare.

Ma stiamo parlando di matematici.. per loro, meglio una brutta soluzione che nessuna soluzione – ci mancherebbe altro! – ma il fatto stesso che una soluzione sia brutta significa che bisogna cercare una soluzione migliore.

Cosi' nel 1994 Larry Carter e Stan Wagon, sempre sul Mathematics Magazine, hanno dimostrato nuovamente l’uguaglianza.. anzi, l’hanno mostrata, presentando un disegno – lo vedete qui sotto, sempre cortesia di Wikipedia – dove hanno fatto un’ulteriore suddivisione della pizza in modo che fosse chiaro che i due gruppi di quattro fette hanno un’area totale identica, essendo composti da parti congruenti.

Come bonus, si puo' vedere che se avessimo diviso la pizza in quattro e non in otto, la differenza e' data dalle due porzioni etichettate “g” e “G”; adesso anche i piu' scettici saranno convinti di quanto avevo scritto sopra.